第三十章：数竞训练！（第二更求追读月票）

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    PS：大佬们，今天周二了，又是评推荐的关键日子，求追读！求追读！求追读！重要的事情说三遍，感恩！
    五月，巴陵的天气已经热得不像话了。
    教室天花板上的吊扇转得嗡嗡作响，吹出来的风带着一股子热浪混着粉笔灰的味道，闷得让人昏昏欲睡。
    韩川的座位靠窗，稍微好一点，距离他同时报名数竞和物竞已经过了半个多月的时间。
    这半个月，他的生活就像是生日蛋糕一样，被切割成一块一块的，数学老师一块，物理老师一块，葛军一块，周培源一块......
    晚自习的铃声响起，韩川拿着书，朝教学楼对面的实验楼走去。
    一三五的时间归数学，二四六归物理。
    今天正好是周三，他得去实验楼跟着尖子班那些参加竞赛的学霸们一起上课培训竞赛相关的难题。
    实验楼的二楼，数竞班的教室中，已经有十几个学生提前到了，这会正坐在自己的位置上安静地看着书。
    韩川找到自己的位置坐下，从书包中摸出来一本竞赛专用的教材看了起来。
    过了一小会，负责带他们的数竞教练龚勤握着保温杯走了进来。
    他没有说话，也没有上课，而是直接拾起粉笔在教室的小黑板上写下了两道题目。
    写完，龚勤将手里的粉笔头往讲台上一扔，拍了拍手上的粉笔灰，扫视了一圈教室里的学生，语气平淡得像在说今天食堂吃什么。
    「今天的训练，两道数论竞赛题。」
    「限时一节晚自习，能做出来的第二节晚自习自由活动。做不出来的，第二节继续做！」
    这是他的教学风格，和其他的竞赛老师喜欢讲课不同，他更倾向于让学生自己理解。
    有奖有惩，能做出来就可以自由活动，做不出来就继续坐板凳。
    教室中，听到龚勤的话，参与竞赛的学生中响起一阵轻微的骚动，所有人抬头看向了黑板。
    韩川也一样，抬头看向黑板上的两道题。
    一丶求证：对于任意正整数n，存在一个n的倍数，其所有数字均为0或1。
    二丶证明：对任意正整数n，总存在一个n的倍数，其十进位表示中每一位数字都是奇数（即只包含1，3，5，7，9中的数字）。
    看了一遍题目，韩川先拾起笔，将黑板上的题目抄到了笔记本上，然后才开始思索。
    这两道题目都是数论题，而数论是竞赛数学里最不讲道理的分支之一。
    它不像几何那样可以靠辅助线打开局面，也不像代数那样有固定的公式可以套。数论靠的是数感丶是灵感丶是对数字结构那种近乎神秘的洞察力。
    有时候一道题卡住了，不是因为知识不够，而是因为你没有站在正确的角度去看它。
    韩川先看向了第一问。
    【求证对于任意正整数n，存在一个n的倍数，其所有数字均为0或1。】
    盯着它看了一会，韩川脑海中的第一反应是直接寻找一个由0和1组成的数，并让它被n整除。
    但下一刻，他就迅速将这个解题思路排除了。
    因为n是任意正整数，没有规律可循。
    这种基础版的凑数和构造倍数，除非他能有一台超算，否则靠纯算寻找答案的思路很显然行不通。
    「有意思，这个命题看起来平平无奇，但实际上难度还不小的样子。」
    看着题目，韩川念叨了一句，眼中带上了感兴趣和兴奋的神色。
    经过这些天的学习，他现在愈发喜欢用已有的知识挑战自己的极限了。
    若是能解开以前做不到的难题，那么收获就像是直接注射了内啡肽一样快乐。
    思索着，他重新阅读了一遍题目。
    如果构造倍数行不通，那么将它和同余挂钩起来行吗？
    想着，他捏着笔迅速在洁白的稿纸上写下了一行算式。
    【考虑序列ak=11...1{k个1}其中k=1，2，…，n+1，这n+1个数模n的余数只可能取0，1…，n?1。】
    【由鸽巢原理，存在两个不同的下标i&amp;lt;j使得ai≡aj(modn).】

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